Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu ứng dụng tích phân trong bài toán tính diện tích hình phẳng với đường cong được cho khá lạ và thú vị, các bài toán chẳng hạn như
Ví dụ 1 (Sở GD Bắc Ninh 2025). Người ta tạo ra một lối đi xung quanh một sân chơi hình vuông \(A B C D\) tâm \(O\) giới hạn bởi các cạnh của hình vuông và một đường cong kín (L). Nếu điểm \ (M\) thuộc cạnh của hình vuông \(A B C D\) và tia \(O M\) cắt ( L ) tại điểm \(N\) thì \(M N=2 \mathrm{~m}\). Biết rằng \(A B=8 \mathrm{~m}\). Diện tích của lối đi đó là bao nhiêu mét vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị̂).
hoặc bài tập như
Bài tập. Người nghệ sĩ vē một bông hoa không màu trên một miếng bìa hình vuông \(A B C D\) tâm \(O\) bằng môt đương cong kín ((L)) rồi tô màu đen phần bên ngoài đường cong này của hình vuông (tham khảo hình vẽ). Nếu điểm \(M\) thuộc cạnh của hình vuông \(A B C D\) và tia \(O M\) cắt (L) tại điểm \(N\) thì \(M N=2 d m\). Biết rằng \(A B=8 \mathrm{dm}\). Phần được nghệ sĩ tô màu đen có diện tích bằng bao nhiêu centimet vuông? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Video này sẽ giúp các bạn giải quyết những bài như vậy
Tóm tắt là ta có kết quả.
Cho điểm O cố định và đường thẳng \(x=a\) cố định. Điểm \(M\) di chuyển trên đường thẳng \(\Delta: x=a\). Tập hợp các điểm \(N\) nằm trên đường thẳng \(OM\) sao cho \(MN=b\) không đổi là đường cong (L) có phương trình
$$x^2+y^2=\dfrac{b^2x^2}{(x-a)^2}$$
Trong video này chúng ta có một bài tập tương tự là:
Một người tạo một lối đi xung quanh một sân chơi hình tam giác đều \(A B C\) tâm \(O\) giới hạn bởi các cạnh của tam giác và một đường cong kín (L) (như hình vẽ). Nếu điểm \(M\) thuộc cạnh của tam giác và tia \(O M\) cắt (L) tại điểm \(N\) thì ta luôn có \(M N=2 \mathrm{~m}\). Biết rằng \(O A=6 \mathrm{~m}\). Diện tích của lối đi đó bằng bao nhiêu mét vuông (làm tròn đến hàng đơn vị).
Sau đây là lời giải chi tiết cho bài toán này
Đặt hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ
Gọi H, K, T lần lượt là các điểm như hình vẽ
Ta có \(OA=6\) nên \(OH=\dfrac{1}{2}OA=3\) (tính chất trọng tâm)
Do \(HT=2\) nên \(OT = OH + HT = 3 + 2 = 5\)
Ta cần tính \(OK\) nữa là xong. Sử dụng \(MH || NK\) ta có
\(\dfrac{OH}{OK}= \dfrac{OM}{ON} \Rightarrow \dfrac{3}{OK}= \dfrac{6}{6+2}\) ta có \(OK =4 \)
Suy ra \(NK=\sqrt{ON^2-OK^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}\)
Đường cong màu đỏ bên ngoài (xét góc phần tư thứ nhất) trong trường hợp này ứng với \(a=3\), \(b=2\) nên có phương trình là
\(x^2+y^2= \dfrac{4x^2}{(x-3)^2}\)
hay \(y=\sqrt{\dfrac{4x^2}{(x-3)^2}-x^2}\)
Để tính phần diện tích màu trắng (phần bên ngoài tam giác hồng và bên trong đường cong) ta sẽ tính diện tích toàn bộ phần bên trong đường cong rồi trừ đi diện tích tam giác hồng.
Diện tích tam giác hồng thì khá dễ, tam giác này là tam giác đều có \(OA=6\) nên đường trung tuyến là 9, suy ra cạnh của tam giác này là \(6\sqrt{3}\), diện tích tam giác đều màu hồng là \(S_{tamgiac} = 27\sqrt{3}\).
Để tính diện tích toàn bộ phần bên trong đường cong ta sẽ tính diện tích phần hình cong NOT như hình vẽ rồi nhân 6 lần lên.
mà \(S_{congNOT} = S_{tamgiacNOK}+ S_{congNKT} \)
\(=\dfrac{1}{2}.4.4\sqrt{3} + \int_4^5 \sqrt{\frac{4 x^2}{(x-3)^2}}dx \approx 17,8\)
Suy ra diện tích lối đi (màu trắng) là
\(S_{cantim} = 6 S_{congNOT} – S_{tamgiac} \approx 59,97 \)
Làm tròn đến hàng đơn vị là 60. Đáp số bài này là 60.
Chúc các bạn thành công
