Một số dạng phương trình lượng giác

Một số dạng phương trình lượng giác

Mục lục

Các dạng Phương trình lượng giác

Ví dụ cho dạng 1

Ví dụ: Giải p.trình \(2\sin 3x – 1 = 0\)

Giải: \(2\sin 3x – 1 = 0 \Leftrightarrow \sin 3x = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi }{6}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\3x = \pi  – \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\), \((k \in \mathbb{Z}) \)

Ví dụ cho dạng 2

Ví dụ 1.  Giải phương trình: \(4{\cos ^2}x – 4\sin x – 1 = 0.\)

Giải:

\({\rm{pt}} \Leftrightarrow 4\left( {1 – {{\sin }^2}x} \right) – \sin x – 1 = 0 \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x + \sin x – 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x =  – 1\\\sin x = \frac{3}{4}\end{array} \right.\)

þ Với \(\sin x =  – 1 \Leftrightarrow x =  – \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

þ Với \(\sin x = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \left( {\frac{3}{4}} \right) + k2\pi \\x = \pi  – \arcsin \left( {\frac{3}{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Ví dụ 2.  Giải phương trình: \(\cos 2x – 3\cos x + 2 = 0.\)

Giải:

\({\rm{pt}} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x – 3\cos x + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x =  \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Ví dụ 3.  Giải phương trình: \(3\cos 2x + 7\sin x + 2 = 0.\)

Giải:

\({\rm{pt}} \Leftrightarrow 3\left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right) + 7\sin x + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow  – 6{\sin ^2}x + 7\sin x + 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{5}{3}\\\sin x =  – \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

þ Với \(\sin x = \frac{5}{3}\) thì pt vô nghiệm vì \(\sin x \in {\rm{[}} – 1;1]\)

þ Với \(\sin x =  – \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Ví dụ 4.  Giải phương trình: \(4{\sin ^4}x + 5{\cos ^2}x – 4 = 0.\)

Giải:

\({\rm{pt}} \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + 5\left( {1 – {{\sin }^2}x} \right) – 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x – 5{\sin ^2}x + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\sin ^2}x = 1\\{\sin ^2}x = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

þ Với \({\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

þ Với \({\sin ^2}x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{{1 – \cos 2x}}{2} = \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Ví dụ 5.  Giải phương trình: \(\cos 4x + 12{\sin ^2}x – 1 = 0.\)

Giải:

\({\rm{pt}} \Leftrightarrow \left( {2{{\cos }^2}2x – 1} \right) + 6\left( {1 – \cos 2x} \right) – 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x – 6\cos 2x + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 1\\\cos 2x = 2\end{array} \right.\)

þ Với \(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

þ Với \(\cos 2x = 2\) thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 6.  Giải phương trình: \( – \frac{1}{2}{\tan ^2}x + \frac{2}{{\cos x}} – \frac{5}{2} = 0.\)

Giải:

Điều kiện \(\cos x \ne 0\)

\({\rm{pt}} \Leftrightarrow  – \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1} \right) + \frac{2}{{\cos x}} – \frac{5}{2} = 0\)

\( \Leftrightarrow  – \frac{1}{2}.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + 2.\frac{1}{{\cos x}} – 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\cos x}} = 2 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Ví dụ cho dạng 3

Ví dụ 1.  Giải phương trình: \(\sin x – \sqrt 3 \cos x =  – \sqrt 3 .\)

Giải: Vì \({1^2} + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} > {\left( { – \sqrt 3 } \right)^2}\) nên phương trình luôn có nghiệm

Khi đó: \({\rm{pt}} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x =  – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right) =  – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Ví dụ 2.  Giải phương trình: \(\cos 2x – \sqrt 3 \sin 2x = 2\cos \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right) \cdot \)

Giải:

\({\rm{pt}} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 2x – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = \cos \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} – x + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{3} =  – \frac{\pi }{3} + x + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\frac{{2\pi }}{3}\\x =  – \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Ví dụ 3.  Giải phương trình: \(\cos 4x – \sin x = \sqrt 3 (\cos x – \sin 4x).\)

Giải:

\({\rm{pt}} \Leftrightarrow \cos 4x + \sqrt 3 \sin 4x = \sqrt 3 \cos x + \sin x\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 4x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 4x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x\) 

\( \Leftrightarrow \cos \left( {4x – \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x – \frac{\pi }{3} = x – \frac{\pi }{6} + k2\pi \\4x – \frac{\pi }{3} =  – x + \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Ví dụ cho dạng 4

Ví dụ 1.  Giải phương trình:  \({\cos ^2}x + 2\sin 2x – 5{\sin ^2}x = 0.\)

Giải:

\({\rm{pt}} \Leftrightarrow {\cos ^2}x + 4\sin x\cos x – 5{\sin ^2}x = 0\)

þ Xét \(\cos x = 0\) thì \({\sin ^2}x = 1\), phương trình trở thành \( – 5.1 = 0\) (vô lí)

Suy ra \(\cos x \ne 0\)

þ Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế phương trình cho\({\cos ^2}x\) ta được

\(1 + 4\tan x – 5{\tan ^2}x = 0\) \( \Leftrightarrow 5{\tan ^2}x – 4\tan x – 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x =  – \frac{1}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( { – \frac{1}{5}} \right) + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Ví dụ 2. Giải phương trình

\(2{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin x\cos x – {\cos ^2}x = 2.\)

Giải. Pt tương đương với:

\(2{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin x\cos x – {\cos ^2}x = 2(\sin^2{x}+\cos^2{x})\)

\( \Leftrightarrow 3\sqrt{3} \sin{x} \cos{x} -3 {\cos ^2}x =0\)

\(\Leftrightarrow 3\cos{x}(\sqrt{3}.\sin{x}-\cos{x})=0\)

\(\Leftrightarrow \cos{x}=0 (1)\) hoặc \(\sqrt{3}\sin{x}-\cos{x}=0 (2)\)

(1) \(\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi\)

(2) \(\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy, nghiệm phương trình là \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \); \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Ví dụ 3. Giải phương trình

\(2{\sin ^2}x + (3 + \sqrt 3 )\sin x\cos x + (\sqrt 3  – 1){\cos ^2}x =  – 1.\)

Một số bạn giải cách khác như thế này cũng được nè, chỉ cần lưu ý:

\(\dfrac{1}{\cos^2{x}}=1+\tan^2{x}\) là được. Cụ thể:

þ Xét \(\cos x = 0\) thì \({\sin ^2}x = 1\), phương trình trở thành \(2 =  – 1\) (vô lý)

Suy ra \(\cos x \ne 0\).

þ Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được

\(2{\tan ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \left( {\sqrt 3  – 1} \right) =  – \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3  = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x =  – 1\\\tan x =  – \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – \frac{\pi }{4} + k\pi \\\tan x =  – \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Ví dụ 4.  Giải phương trình:  \(4{\sin ^3}x + 3({\cos ^3}x – \sin x) = {\sin ^2}x\cos x.\)

Giải:

\({\rm{pt}} \Leftrightarrow 4{\sin ^3}x – {\sin ^2}x\cos x – 3\sin x + 3{\cos ^3}x = 0\)

þ Xét \(\cos x = 0\) thì \({\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow \sin x =  \pm 1\), phương trình trở thành

 \(4.1 – 3.1 = 0\) (vô lí); hoặc \(4.{( – 1)^3} – 3.( – 1) = 0\)(vô lí)

Suy ra \(\cos x \ne 0\)

þ Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế phương trình cho\({\cos ^3}x\) ta được

\(4{\tan ^3}x – {\tan ^2}x – 3\tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) + 3 = 0\) \( \Leftrightarrow {\tan ^3}x – {\tan ^2}x – 3\tan x + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x =  \pm \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x =  \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Ví dụ 5.  Giải phương trình:  \({\sin ^2}x(\tan x + 1) = 3\sin x(\cos x – \sin x) + 3.\)

Giải:

Điều kiện \(\cos x \ne 0\)

þ Dễ thấy \(\sin x = 0\) không là nghiệm của phương trình

þ Chia hai vế phương trình cho \({\sin ^2}x\) ta được

\(1 + \tan x = 3\left( {\cot x – 1} \right) + 3\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3\cot x\left( {\cot x – 1} \right) + 3\cot x\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) = \cot x + 1\)

\( \Leftrightarrow 3{\cot ^3}x + 3{\cot ^2}x – \left( {\cot x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {\cot x + 1} \right)\left( {3{{\cot }^2}x – 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cot x =  – 1\\\cot x =  \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – \frac{\pi }{4} + k\pi \\x =  \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Ví dụ cho dạng 5

Ví dụ: \(\sin 3x + \cos 2x – \sin x = 0\)

\( \Leftrightarrow (\sin 3x – \sin x) + \cos 2x = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\cos 2x\sin x + \cos 2x = 0 \)

\(\Leftrightarrow \cos 2x(2\sin x + 1) = 0\)

\(\left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\sin x =  – \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\\x =  – \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)

Bài tập

1.Phương trình lượng giác cơ bản

Giải các p.tr lượng giác sau:

a) \(2\cos 3x – 1 = 0\)

b) \(\sin 5x + \sin x = 0\)

c) \(\cos (x – \frac{\pi }{6}) = – \sin 2x\)

d) \(1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0\)

e) \(\tan x.\tan 2x = – 1\)

2. Phương trình bậc 2 theo một hàm số lượng giác

Giải các p.tr lượng giác sau:

a) \({\cos ^2}x + \sin x + 1 = 0\)

b) \(\cos 2x + 3\sin x + 1 = 0\)

c) \(4{\sin ^2}x + 2(\sqrt 3 – 1)\sin x – \sqrt 3 = 0\)

d) \(\cos 2x – 3\cos x = 4{\cos ^2}\frac{x}{2}\)

e) \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x + 2(\tan x + \cot x) = 6\)

3.Phương trình bậc nhất theo \(\sin x,\cos x\)

Giải các p.tr lượng giác sau:

a) \(\sin x + \cos x = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)

b) \(\sqrt 3 \sin 2x – \cos 2x = 1\)

c) \(2\sin (x + \frac{\pi }{3}) + \cos (\frac{\pi }{6} – x) = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

d) \(2{\cos ^2}\frac{x}{2} – \sqrt 3 \sin x = \sqrt 2 + 1\)

e) \(2\cos 2x – 3\sin 2x + 2 = 0\)

4.Phương trình thuần nhất bậc 2 theo \(\sin x,\cos x\)

Giải các p.tr lượng giác sau:

a) \(4{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin 2x – 2{\cos ^2}x = 4\)

b) \(7{\cos ^2}x – 4\sin 2x + {\sin ^2}x = 0\)

c) \(\sqrt 3 {\sin ^2}x + (1 – \sqrt 3 )\sin x\cos x – {\cos ^2}x + 1 – \sqrt 3 = 0\)

d) \(3{\cos ^2}x + 4{\sin ^2}x + \sin x\cos x = 4\)

e) \(2{\sin ^2}x – 5\sin x\cos x – 8{\cos ^2}x = – 2\)

f) \(2{\sin ^3}x – {\sin ^2}x\cos x + 4\sin x{\cos ^2}x – 2{\cos ^3}x = 0\)

5.Phương trình đối xứng theo \(\sin x,\cos x\)

Giải các phương trình lượng giác:

a) \(3(\sin x + \cos x) + 2\sin x\cos x + 3 = 0\)

b) \(\cos x – \sin x + 6\sin x.\cos x = 1\)

c) \(1 + {\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \frac{3}{2}\sin 2x\)

d) \(\sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) – \sin 2x = 1\)

6.Bài tập tổng hợp

a) \(\sin x – \sqrt 3 \cos x = 2\sin 2x\)

b) \(\sin 4x + 1 = 2\sin x(1 + \cos x) + \cos 3x\)

c) \({\sin ^2}x – \sin x\cos x – 6{\cos ^2}x = 0\)

d) \(2\sqrt 2 \cos 2x + \sin 2x\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) – 4\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)

e) \({\sin ^2}3x – {\cos ^2}4x = {\sin ^2}5x – {\cos ^2}6x\)

f) \(4{\sin ^2}\left( {\pi – \frac{x}{2}} \right) – \sqrt 3 \sin \left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right) = 1 + 2{\cos ^2}\left( {x – \frac{{3\pi }}{4}} \right)\)

g) \(\sin 2x + \sin x – \frac{1}{{2\sin x}} – \frac{1}{{\sin 2x}} = 2\cot 2x\)

h) \(\frac{{3\sin 2x – 2\sin x}}{{\sin 2x.\cos x}} = 2\)

i) \(\cos 2x + 5 = 2(2 – \cos x)(\sin x – \cos x)\)

j) \(\sin x.\tan 2x + \sqrt 3 (\sin x – \sqrt 3 \tan 2x) = 3\sqrt 3 \)

k) \(9\sin x + 6\cos x – 3\sin 2x + \cos 2x = 8\)

l) \(\cos x + {\cos ^2}x + {\sin ^3}x = 2\)

m) \(\frac{{(\sin 2x – \sin x + 4)\cos x – 2}}{{2\sin x + \sqrt 3 }} = 0\)

n) \(2{\sin ^2}x\cos x – \sin 2x\cos (\pi – x) = \frac{3}{2}\sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\)

Share

Written by:

le chanduc

61 Posts

View All Posts
Follow Me :

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

The maximum upload file size: 128 MB. You can upload: image, audio, video, document, spreadsheet, interactive, text, archive, code, other. Links to YouTube, Facebook, Twitter and other services inserted in the comment text will be automatically embedded. Drop files here

Bạn đã đăng kí thành công, cảm ơn bạn nha

Có một chút lỗi, bạn vui lòng làm lại nha

EDUCATION will use the information you provide on this form to be in touch with you and to provide updates and marketing.