Về một lớp những bài toán sử dụng các kết quả đạo hàm để tạo ra những nguyên hàm hàm ẩn thú vị.Thầy cô cũng có thể sử dụng kĩ thuật này để tạo ra một số bài tập nguyên hàm hay, đòi hỏi khả năng phân tích suy đoán kết hợp kiến thức cũ của học sinh.Nhân dịp có một học sinh hỏi bài (trích từ đề thi Trung học phổ thông Quốc gia 2018), tính mình thích tổng quát những trường hợp lại với nhau, nên chia sẻ đến các bạn một lớp các ví dụ minh họa cho ý tưởng này, mời bạn đọc và góp ý nhé.
1. Nguyên hàm-tích phân từ đạo hàm cơ bản
Ví dụ 1. (Đề THPT QG 2018). Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa $f\left( 2 \right)=\frac{-2}{9}$ và ${f}’\left( x \right)=2x{{f}^{2}}\left( x \right),\forall x\in \mathbb{R}$. Hãy tính $f\left( 1 \right)$.
Từ đề thi, bài viết muốn làm nội dung này một cách tổng hợp. Để làm được các bài tập như bài toán trên chúng ta cần nhớ lại một số kết quả đạo hàm hàm hợp $u\left( x \right)$ như sau:
| ${{\left( \ln u \right)}^{\prime }}=\frac{u’}{u}\Rightarrow \int{\frac{{{u}’}}{{{u}}}\text{d}x=\ln u+C}$ ${{\left( {{u}^{2}} \right)}^{\prime }}=2u.{u}’\Rightarrow \int{u.{u}’\text{d}x}=\frac{{{u}^{2}}}{2}+C$ ${{\left( \frac{1}{u} \right)}^{\prime }}=\frac{-{u}’}{{{u}^{2}}}\Rightarrow \int{\frac{{{u}’}}{{{u}^{2}}}\text{d}x}=\frac{-1}{u}+C$ ${{\left( \sqrt{u} \right)}^{\prime }}=\frac{{{u}’}}{2\sqrt{u}}\Rightarrow \int{\frac{u’}{\sqrt{u}}}\text{d}x=2\sqrt{u}+C$ |
Như vậy, ở Ví dụ 1, ta quan sát nếu chia ${f}’\left( x \right)$ cho ${{f}^{2}}\left( x \right)$ thì ta có thể dễ dàng lấy nguyên hàm được, cho nên có thể giải như sau:
\({f}’\left( x \right)=2x{{f}^{2}}\left( x \right),\forall x\in \mathbb{R}\)
\(\Rightarrow \frac{{f}’\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}=2x\)
\(\Rightarrow \int{\frac{{f}’\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}\text{d}x}=\int{2x}\text{d}x\)
\(\Rightarrow \frac{-1}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+C\), do vậy \(f\left( x \right)=\frac{-1}{{{x}^{2}}+C}\)
Do $f\left( 2 \right)=\frac{-1}{{{2}^{2}}+C}\overset{theo\,\,de}{\mathop{=}}\,\frac{-2}{9}$ $\Rightarrow C=\frac{1}{2}$ . Vậy $f\left( 1 \right)=\frac{-1}{{{1}^{2}}+\frac{1}{3}}=\frac{-2}{3}$
Ví dụ 2. (Đề học kì II–THPT Bùi Thị Xuân TpHCM–2017.2018). Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f\left( x \right).{f}’\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 1 \right)=1$. Tính giá trị của ${{f}^{2}}\left( 0 \right)$.
A. ${{f}^{2}}(0)=-1$
B. ${{f}^{2}}(0)=0$
C. ${{f}^{2}}(0)=1$
D. ${{f}^{2}}(0)=3$.
Hướng dẫn giải.
Nhận thấy có $f\left( x \right).{f}’\left( x \right)$ ta nghĩ ngay đến ${{\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)}^{\prime }}=2f\left( x \right).{f}’\left( x \right)$ và do đó lấy nguyên hàm $f\left( x \right).{f}’\left( x \right)$ sẽ liên quan đến ${{f}^{2}}\left( x \right)$. Ta có lời giải như sau:
Lời giải
$f\left( x \right).{f}’\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2,\forall x\in \mathbb{R}$\[\Rightarrow \int{f\left( x \right).{f}’\left( x \right)dx}=\int{\left( 3{{x}^{2}}-2 \right)dx}\]$\Rightarrow \frac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{2}={{x}^{3}}-2x+C$ hay ${{f}^{2}}\left( x \right)=2{{x}^{3}}-4x+2C$Mà $f\left( 1 \right)=1\Leftrightarrow C=\frac{3}{2}$. Suy ra ${{f}^{2}}\left( x \right)=2{{x}^{3}}-4x+3$ .
Vậy ${{f}^{2}}(0)=3$. Chọn D.
Ví dụ 3. (Đề thi thử QG Chuyên Vinh lần IV–2017). Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục, nhận giá trị dương trên $\left( 0;+\infty \right)$ và thỏa mãn $f\left( 1 \right)=1$, $f\left( x \right)={f}’\left( x \right)\sqrt{3x+1},$ với mọi $x>0$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $4<f(5)<5$
B. $2<f(5)<3$
C. $3<f(5)<4$
D. $1<f(5)<2$.
Hướng dẫn.
Trong bài này, ta thấy có sự xuất hiện ${f}’\left( x \right)$ và $f\left( x \right)$ ở hai vế của đẳng thức bởi dấu nhân, như vậy ta có thể nghĩ đến tỉ số 2 đối tượng này, nghĩa là $\frac{{f}’\left( x \right)}{f\left( x \right)}$ mà có tỉ số này ta có kết quả nguyên hàm là $\ln \left| f\left( x \right) \right|$.
Như vậy, ta có thể giải bài toán như sau:
Giải
$f\left( x \right)={f}’\left( x \right)\sqrt{3x+1}$$\Rightarrow \frac{{f}’\left( x \right)}{f\left( x \right)}=\frac{1}{\sqrt{3x+1}}>0,\forall x>0$ , lấy nguyên hàm ta có: $\int{\frac{{f}’\left( x \right)}{f\left( x \right)}dx}=\int{\frac{1}{\sqrt{3x+1}}dx}$Hay $\ln f\left( x \right)=\frac{2}{3}\sqrt{3x+1}+C$
Với $f\left( 1 \right)=1$ ta có $\ln f\left( 1 \right)=\frac{2}{3}\sqrt{3.1+1}+C\Rightarrow C=\frac{-4}{3}$do đó $\ln f\left( x \right)=\frac{2}{3}\sqrt{3x+1}-\frac{4}{3}$
Vậy: $f\left( x \right)={{e}^{\frac{2}{3}\sqrt{3x+1}-\frac{4}{3}}}$, nên $3<f\left( 5 \right)={{e}^{\frac{4}{3}}}<4$. Chọn C.
Thay lời kết, mời bạn đọc hãy giải quyết thử bài tập này nha.
Bài tập.
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục và không âm trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn ${{\left( {f}’\left( x \right) \right)}^{2}}=4{{x}^{2}}f\left( x \right)$, biết rằng $f\left( 2 \right)=9$. Hãy tính $f\left( 4 \right)$?
Đáp số sẽ là: 69 bạn nhé 😊. Chúc bạn thành công và thú vị với chủ đề này!
2. Nguyên hàm-tích phân từ qui tắc tính đạo hàm
Để hiểu điều này, trước hết ta cần nhớ các công thức đạo hàm của tổng hiệu tích thương như sau:
\(\left(u+v\right) ^\prime = u ^ \prime + v ^\prime\)
\(\left(u-v\right) ^\prime = u ^ \prime – v ^\prime\)
\(\left(u \cdot v\right) ^ \prime = u ^\prime . v + u. v^ \prime\)
\(\left(\dfrac{u}{v}\right) ^ \prime = \dfrac{u ^ \prime . v – u. v^ \prime }{v^2} \)
Ví dụ 1:
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(x.f(x).f'(x) = {f^2}(x) – x,\forall x \in \mathbb{R}\) và có \(f(2) = 1\). Tích phân \(\int\limits_0^2 {{f^2}(x)dx} \)
A. \(\frac{3}{2}\) B. \(\frac{4}{3}\) C. \(2\) D. \(4\)
Giải.
Ta có:
\(x.f(x).f'(x) = {f^2}(x) – x\)
\( \Leftrightarrow 2x.f(x).f'(x) = 2{f^2}(x) – 2x\)
\( \Leftrightarrow 2x.f(x).f'(x) + {f^2}(x) = 3{f^2}(x) – 2x\)
\( \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {\left( {x.{f^2}(x)} \right)}^\prime d{\rm{x}} = 3\int\limits_0^2 {{f^2}(x)} dx – \int\limits_0^2 {2x} dx\)
\( \Leftrightarrow \left( {x.{f^2}(x)} \right)\left| \begin{array}{l}2\\0\end{array} \right. = 3I – 4\)
\( \Leftrightarrow 2 = 3I – 4 \Leftrightarrow I = 2\)
2. Công thức đặc biệt thường gặp
Dạng \(f^{\prime}(x)+p(x) \cdot f(x)=g(x)\)
Thường nhân hai về với \(\mathrm{e}^{\int p(x) d x}\).
Sau khi nhân vế trái sẽ có dạng \(u^{\prime} v+u v^{\prime}\)
Cần biết \(\int\left(u^{\prime} v+u v^{\prime}\right) \mathrm{d} x=u v\)
Ví dụ 1: [Đề cuối học kì 2-Thủ Khoa Huân-2022-2023]
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f^{\prime}(x)-2023 f(x)=2023 x^{2022} . e^{2023 x}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(f(0)=2023\). Giá trị của \(f(1)\) là
A. \(2024 e^{-2023}\)
B. \(2024 e^{2023}\)
C. \(2023 e^{-2023}\)
D. \(2023 e^{2023}\).
Giải.
Nhận thấy bài này đúng dạng: \(f^\prime (x) +p(x). f(x) = g(x)\) với \(p(x)=-2023\).
Ta nhân 2 vế phương trình đề bài với \(e^{\int{-2023 dx}}=e^{-2023x}\)
được kết quả là \(e^{-2023x}.f^\prime (x) -2023.e^{-2023x}.f(x)=2023.x^{2022}\)
suy ra \(\left(e^{-2023x}.f(x)\right)^\prime = 2023.x^{2022}\)
Do đề bài cho \(f(0)\) đi tìm \(f(1)\) nên thay vì lấy nguyên hàm hai vế, ta lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế và được:
\(\left. {{e^{ – 2023x}}f(x)} \right|_0^1 = \int\limits_0^1 {2023{x^{2022}}dx} \)
Và như vậy, ta có \({e^{ – 2023}}f\left( 1 \right) – f\left( 0 \right) = 1\), chú ý rằng tích phân \(\int\limits_0^1 {2023{x^{2022}}dx}\) có thể bấm máy hoặc dễ thấy nguyên hàm là \({x^{2023}}\)
Suy ra \(f\left( 1 \right) = \frac{{f\left( 0 \right) + 1}}{{{e^{ – 2023}}}} = 2024.{e^{2023}}\)
Chọn B.
Ví dụ 2
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \([0 ; 4]\), thỏa mãn \(f(x)+f^{\prime}(x)=e^{-x} \sqrt{2 x+1}\) với mọi \(x \in[0 ; 4]\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(e^4 f(4)-f(0)=\frac{26}{3}\).
B. \(e^4 f(4)-f(0)=3 e\).
C. \(e^4 f(4)-f(0)=e^4-1\).
D. \(e^4 f(4)-f(0)=3\).
Lời giải
Nhân cả hai vế với \(e^x\) ta được:
$$
e^x f(x)+e^x f^{\prime}(x)=\sqrt{2 x+1} \Leftrightarrow\left[e^x f(x)\right]^{\prime}=\sqrt{2 x+1} \text {. }
$$
Lấy nguyên hàm hai vế, ta được:
$$
\int\left[e^x f(x)\right]^{\prime} d x=\int \sqrt{2 x+1} d x \Rightarrow e^x f(x)=\frac{2 x+1}{3} \sqrt{2 x+1}+C
$$
Vậy \( e^4 f(4)-f(0)=\dfrac{26}{3}\)
