Diện tích tam giác nhỏ nhất Oxyz trong đề thi HK2 một số trường 2020-2021

Diện tích tam giác nhỏ nhất Oxyz trong đề thi HK2 một số trường 2020-2021

Trong kì thi Học kì 2 2020-2021, có một sự trùng hợp nhẹ ở đề HK2 Trường Trần Khai Nguyên và Trường Thực hành Sài Gòn.

Hai câu này nhìn chung thành một vấn đề:

Trong không gian \(Oxyz\), cho 2 điểm \(A,B\) và mặt phẳng \(P\). Tìm điểm \(C\) thuộc mặt phẳng \((P)\) sao cho diện tích tam giác \(ABC\) là nhỏ nhất.

Chúng ta điểm lại 2 đề đó ở đây nhé:

1. Đề HK2- Thực hành Sài Gòn 2020-2021

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x – y – 2z – 12 = 0\) và hai điểm \(A\left( {1;1;3} \right)\), \(B\left( {2;1;4} \right)\), tập hợp những điểm \(C \in \left( P \right)\) sao cho tam giác \(ABC\) có diện tích nhỏ nhất là

A. \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  – \frac{8}{9}\\z =  – \frac{{50}}{9} + t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

B. \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x =  – \frac{5}{4} + t\\y =  – \frac{5}{4}\\z = t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

C. Đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {\frac{3}{2};1;\frac{7}{2}} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 2 \).

D. Đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(A\left( {1;1;3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 2 \).

2. Đề HK2-Trần Khai Nguyên 2020-2021

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-y+2=0$, và hai điểm $A(1;2;3)$, $B(1;0;1)$. Điểm $C(a;b;-2)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích nhỏ nhất. Tính $a+b$

A. -3. B. 2. C. 1. D. 0.

———

Lời giải và bình luận

Trước hết ta xét bài toán tổng quát, cho hai điểm \(A,B\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Tìm điểm \(C\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho diện tích tam giác \(ABC\) nhỏ nhất.

Hướng dẫn:

Nhận xét rằng: nếu \(AB\) cắt mặt phẳng \((P)\) hoặc \(AB \subset \left( P \right)\) thì bài toán kết thúc vì lúc đó \({S_{ABC\,\min }} = 0\) lúc \(A,B,C\) thẳng hàng. (trường hợp \(AB\) cắt \((P)\) thì \(C\) chính là giao điểm của \(AB\) và \(\left( P \right)\)).

Xét trường hợp thứ 2 là \(AB\) song song \(\left( P \right)\)

Ta có: \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C,AB} \right)\], mà \(AB\) cố định nên \({S_{ABC}}\) min khi \(d\left( {C,AB} \right)\) min.

Khi xét các khoảng cách từ C đến AB, nghĩa là C nằm trong các mặt phẳng vuông góc với AB (và tất nhiên C đang nằm trong (P)).

Gọi \(d\) là hình chiếu vuông góc của \(AB\) lên \(\left( P \right)\) khi đó ta có thể chứng minh được \(d\left( {C,AB} \right)\) nhỏ nhất khi \(C\) nằm trên \(d\). Thật vậy, xét điểm \({C_1}\) bất kì trên mặt phẳng \((P)\) gọi \(C\) là hình chiếu vuông góc của \({C_1}\) lên \(d\) , \(H\) là hình chiếu của \({C_1}\) lên \(AB\) ta có: \(CH \le {C_1}H\) (do tam giác \(HC{C_1}\) vuông tại \(C\)) nên \(d\left( {C,AB} \right) \le d\left( {{C_1},AB} \right)\), và chú ý rằng, các điểm C trên \(d\) có cùng khoảng cách tới \(AB\) (do \(AB\) song song \(d\))

Chốt kết quả như sau:

Định hướng giải:

1. Đề Thực hành Sài Gòn. Do \(C\left( {a;b; – 2} \right) \in \left( P \right) \)

$\Rightarrow a – b + 2 = 0 $

\(\Leftrightarrow b = a + 2\).

Dùng công thức khoảng cách \(d\left( {C,AB} \right)\) ta đưa về được biểu thức một biến \(a\), cụ thể nó là: \(d\left( {C,AB} \right) = \frac{{\sqrt {12{a^2} + 24a + 108} }}{{2\sqrt 2 }}\), đạt được nhỏ nhất khi \(a =  – 1\), tức \(b = 1\) và do đó \(C\left( { – 1;1; – 2} \right)\)

2. Đề Trần Khai Nguyên. Chú ý rằng \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;0;1} \right)\), có \(\overrightarrow {AB} .{\vec n_P} = 0\) nên \(AB\) song song \(\left( P \right)\) và do đó C thuộc hình chiếu của \(AB\) lên \(\left( P \right)\) mà bài toán hình chiếu thì bạn đọc đã quen rồi, nên ta có kết quả \(C \in \left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  – \frac{8}{9}\\z =  – \frac{{50}}{9} + t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\), và đến đây thì bạn biết chọn phương án nào rồi đấy.

Share

Written by:

le chanduc

61 Posts

View All Posts
Follow Me :
Theo dõi
Thông báo của
guest

0 Comments
Phản hồi nội tuyến
Xem tất cả bình luận
0
Mình rất thích suy nghĩ của bạn, bình luận bên dưới nhax

Bạn đã đăng kí thành công, cảm ơn bạn nha

Có một chút lỗi, bạn vui lòng làm lại nha

EDUCATION will use the information you provide on this form to be in touch with you and to provide updates and marketing.