Trong kì thi Học kì 2 2020-2021, có một sự trùng hợp nhẹ ở đề HK2 Trường Trần Khai Nguyên và Trường Thực hành Sài Gòn.
Hai câu này nhìn chung thành một vấn đề:
| Trong không gian \(Oxyz\), cho 2 điểm \(A,B\) và mặt phẳng \(P\). Tìm điểm \(C\) thuộc mặt phẳng \((P)\) sao cho diện tích tam giác \(ABC\) là nhỏ nhất. |
Chúng ta điểm lại 2 đề đó ở đây nhé:
1. Đề HK2- Thực hành Sài Gòn 2020-2021
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x – y – 2z – 12 = 0\) và hai điểm \(A\left( {1;1;3} \right)\), \(B\left( {2;1;4} \right)\), tập hợp những điểm \(C \in \left( P \right)\) sao cho tam giác \(ABC\) có diện tích nhỏ nhất là
A. \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = – \frac{8}{9}\\z = – \frac{{50}}{9} + t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
B. \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = – \frac{5}{4} + t\\y = – \frac{5}{4}\\z = t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
C. Đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {\frac{3}{2};1;\frac{7}{2}} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 2 \).
D. Đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(A\left( {1;1;3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 2 \).
2. Đề HK2-Trần Khai Nguyên 2020-2021
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-y+2=0$, và hai điểm $A(1;2;3)$, $B(1;0;1)$. Điểm $C(a;b;-2)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích nhỏ nhất. Tính $a+b$
A. -3. B. 2. C. 1. D. 0.
———
Lời giải và bình luận
Trước hết ta xét bài toán tổng quát, cho hai điểm \(A,B\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Tìm điểm \(C\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho diện tích tam giác \(ABC\) nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Nhận xét rằng: nếu \(AB\) cắt mặt phẳng \((P)\) hoặc \(AB \subset \left( P \right)\) thì bài toán kết thúc vì lúc đó \({S_{ABC\,\min }} = 0\) lúc \(A,B,C\) thẳng hàng. (trường hợp \(AB\) cắt \((P)\) thì \(C\) chính là giao điểm của \(AB\) và \(\left( P \right)\)).
Xét trường hợp thứ 2 là \(AB\) song song \(\left( P \right)\)
Ta có: \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C,AB} \right)\], mà \(AB\) cố định nên \({S_{ABC}}\) min khi \(d\left( {C,AB} \right)\) min.
Khi xét các khoảng cách từ C đến AB, nghĩa là C nằm trong các mặt phẳng vuông góc với AB (và tất nhiên C đang nằm trong (P)).
Gọi \(d\) là hình chiếu vuông góc của \(AB\) lên \(\left( P \right)\) khi đó ta có thể chứng minh được \(d\left( {C,AB} \right)\) nhỏ nhất khi \(C\) nằm trên \(d\). Thật vậy, xét điểm \({C_1}\) bất kì trên mặt phẳng \((P)\) gọi \(C\) là hình chiếu vuông góc của \({C_1}\) lên \(d\) , \(H\) là hình chiếu của \({C_1}\) lên \(AB\) ta có: \(CH \le {C_1}H\) (do tam giác \(HC{C_1}\) vuông tại \(C\)) nên \(d\left( {C,AB} \right) \le d\left( {{C_1},AB} \right)\), và chú ý rằng, các điểm C trên \(d\) có cùng khoảng cách tới \(AB\) (do \(AB\) song song \(d\))
Chốt kết quả như sau:
Định hướng giải:
1. Đề Thực hành Sài Gòn. Do \(C\left( {a;b; – 2} \right) \in \left( P \right) \)
$\Rightarrow a – b + 2 = 0 $
\(\Leftrightarrow b = a + 2\).
Dùng công thức khoảng cách \(d\left( {C,AB} \right)\) ta đưa về được biểu thức một biến \(a\), cụ thể nó là: \(d\left( {C,AB} \right) = \frac{{\sqrt {12{a^2} + 24a + 108} }}{{2\sqrt 2 }}\), đạt được nhỏ nhất khi \(a = – 1\), tức \(b = 1\) và do đó \(C\left( { – 1;1; – 2} \right)\)
2. Đề Trần Khai Nguyên. Chú ý rằng \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;1} \right)\), có \(\overrightarrow {AB} .{\vec n_P} = 0\) nên \(AB\) song song \(\left( P \right)\) và do đó C thuộc hình chiếu của \(AB\) lên \(\left( P \right)\) mà bài toán hình chiếu thì bạn đọc đã quen rồi, nên ta có kết quả \(C \in \left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = – \frac{8}{9}\\z = – \frac{{50}}{9} + t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\), và đến đây thì bạn biết chọn phương án nào rồi đấy.
