Bài 1.
Cho $\log {12} 18=a, \log {12} 200=b$. Tính $\log {24} 90$ theo $a$ và $b$.
Lời giải
\(a = \log_{2}18=\log_{2^2.3}{3^2.2}=\dfrac{\log_2{3^2.2}}{\log_2{2^2.3}}=\dfrac{2 \log_2{3}+1}{2+\log_2{3}}\)
\(\Rightarrow a\left(2+\log _2 3\right)=2 \log _2 3+1 \)
\(\Rightarrow \log _2 3=\dfrac{1-2 a}{a-2}\)
Và:
\(b=\log _{12} 200=\dfrac{\log _2\left(2^3 \cdot 5^2\right)}{\log _2\left(2^2 \cdot 3\right)}=\dfrac{3+2 \log _2 5}{2+\log _2 3}\)
\(\Rightarrow b\left(2+\log _2 3\right)=3+2 \log _2 5\)
\(\Leftrightarrow b\left(2+\dfrac{1-2 a}{a-2}\right)=3+2 \log _2 5\)
\(\Leftrightarrow b\left(\dfrac{2 a-4+1-2 a}{a-2}\right)-3=2 \log _2 5\)
\(\Leftrightarrow 2 \log _2 5=\dfrac{-3 b}{a-2}-3=\dfrac{-3 b-3 a+6}{a-2}\)
\(\Rightarrow \log _2 5=\dfrac{-3 a-3 b+6}{2(a-2)}\)
\(\log _{24} 90=\dfrac{\log _2 90}{\log _2 24}=\dfrac{\log _2\left(2 \cdot 3^2 \cdot 5\right)}{\log _2\left(2^3 \cdot 3\right)}=\dfrac{1+2 \log _2 3+\log _2 5}{3+\log _2 3} \)
\(=\dfrac{1+2 \cdot \frac{1-2 a}{a-2}+\frac{-3 a-3 b+6}{2(a-2)}}{3+\frac{1-2 a}{a-2}}\)
\( =\dfrac{2(a-2)+4(1-2 a)-3 a-3 b+6}{2(3 a-6+1-2 a)}\)
\(=\dfrac{-9 a-3 b+6}{2(a-5)}\)
Bài 2. Bất phương trình logarit có cơ số bé hơn 1
\(\log_{0,3}{(5-2x)}>\log_{\frac{3}{10}}9)\)
Lời giải
Chỉ cần đưa về cùng cơ số thôi em, nhưng tất nhiên đầu tiên cứ phải đặt điều kiện đã nhé.
Điều kiện: \(5-2x>0 \Leftrightarrow x<\dfrac{5}{2}\)
Khi đó, bpt tương đương với \(\log_{0,3}{(5-2x)}>\log_{0,3}{9}\)
\(\Leftrightarrow 5-2x < 9\) (do 0,3 là cơ số bé hơn 1 nên bị đổi chiều nha)
\(\Leftrightarrow 2x>-4 \Leftrightarrow x>-2\)
Kết hợp với điều kiện, ta có kết quả là \(-2 < x < \dfrac{5}{2}\)
