Một dạng bài tập nâng cao khi sử dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai đó chính là tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (min-max) của một biểu thức theo \(x_1 ; x_2 \) có chứa tham số \(m\).
Tuy nhiên, ở đây xuất hiện một quy luật khá nhẹ nhàng để các bạn có thể dự đoán trước đáp số, giúp chúng ta có thể làm nhanh một bài toán, đặc biệt là với tình huống trắc nghiệm
Để hiểu rõ điều này, trước hết mời các bạn cùng xem qua một số ví dụ sau đây nhé.
Ví dụ 1.
Tìm m để pt: \(x^2 – 2(m – 3)x + m^2 – 4m + 5 = 0 \) có hai nghiệm \({x_1}\,,\,\,{x_2}\) sao cho biểu thức \(Q= x_1^2 + x_2^2 – {x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn-giải
Điều kiện để có 2 nghiệm \(x_{1}, x_{2}\) là \(\Delta^{\prime} \geq 0 \Leftrightarrow(m-3)^{2}-\left(m^{2}-4 m+5\right) \geq 0\) hay \(m \leq 2\)
Theo định lý Viet ta có: \(x_{1}+x_{2}=2(m-3)=2 m-6 ; x_{1} x_{2}=m^{2}-4 m+5\)
Khi đó: \(Q=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1} x_{2} \)
\(=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-3 x_{1} x_{2}\)
\(=(2 m-6)^{2}-3\left(m^{2}-4 m+5\right)\)
\(=m^{2}-12 m+21\)
\(=(m-6)^{2}-15\) cần \(\geq ?\)
Thông thường là mấy bài như vậy đạt giá trị nhỏ nhất tại \(m\) tối thiểu (hoặc tối đa) chỗ \(\Delta\), dự đoán dấu bằng khi \(\quad m=2\)
Ta có \(m^{2}-12 m+21-1+1 \)
\(=m^{2}-\mathbf{1 2 m}+\mathbf{2 0}+1\)
\(=(m-2)(m-10)+1\)
Mà \(m \leq 2\) nên \((m-2)(m-10) \geq 0\) suy ra \((m-2)(m-10)+1 \geq 1\) dấu bằng xảy ra khi \(m=2\)
Vậy, min \(\mathrm{Q}=1\) khi \(\mathrm{m}=2\)
Ví dụ 2.
Cho phương trình bậc hai \({x^2} – 2mx + {m^2} – 2m + 4 = 0\) (\(m\) là tham số thực). Tìm \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm không âm \({x_1},{x_2} \) thỏa mãn biểu thức \(P = \sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} \) đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn-giải
Điều kiện để pt có 2 nghiệm không âm \(0 \le {x_1} \le {x_2}\) tương đương \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ^\prime \ge 0\\P \ge 0\\S \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m – 4 \ge 0\\{m^2} – 2m + 4 \ge 0\,\,\,(đúng)\\2m \ge 0\end{array} \right.\)
Giải được \(m \ge 2\)
Ta có: \(P = \sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} \)
\( \Rightarrow {P^2} = {x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} \ge 2\sqrt {{x_1}{x_2}} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} = 4\sqrt {{x_1}{x_2}} \;\)
(Cauchy cho 2 số \({x_1},{x_2}\))
Xét lượng \({x_1}{x_2} = {m^2} – 2m + 4 = {\left( {m – 1} \right)^2} + 3\)
Ta có: \(m \ge 2 \Rightarrow m – 1 \ge 1 \Rightarrow {\left( {m – 1} \right)^2} \ge 1 \Rightarrow {\left( {m – 1} \right)^2} + 3 \ge 4\)
Do đó: \(P \ge 4\sqrt 4 = 8\), Dấu bằng xảy ra khi \(m = 2\)
ra GTNN của P là 8, khi \(m=2\)
Tới đây ắt hẳn bạn đã phát hiện ra quy luật đoán nhanh giá trị \(m\) cho một lớp bài toán như thế này rồi phải không nào? cùng thảo luận bằng cách comment bên dưới thử nha bạn ưi
