Mục lục
Các dạng Phương trình lượng giác
Phương trình lượng giác cơ bản
Ở dạng này, các em cần nhớ các kết quả sau đây:
1. Phương trình \(sin{x}=m\) (1)
-Nếu \(m<-1\) hoặc \(m>1\) thì phương trình vô nghiệm
-Nếu \(-1<m<1\) thì phương trình (1) luôn có nghiệm và công thức nghiệm như sau:
\(\sin{x}=m=\sin{\alpha}\) (dùng máy tính để bấm được \(\alpha\) )
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =\alpha + k2\pi \\x = \pi – \alpha
+ k2\pi \end{array} \right.{\rm{ }}(k \in \mathbb{Z})\)
2. Phương trình \(cos{x}=m\) (2)
-Nếu \(m<-1\) hoặc \(m>1\) thì phương trình vô nghiệm.
-Nếu \(-1<m<1\) thì phương trình (2) luôn có nghiệm và công thức nghiệm như sau:
\(\cos{x}=m=\cos{\alpha}\) (dùng máy tính để bấm được \(\alpha\) )
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =\alpha + k2\pi \\x = – \alpha
+ k2\pi \end{array} \right.{\rm{ }}(k \in \mathbb{Z})\).
3. Phương trình \(tan{x}=m\) (3)
\(\tan{x}=m=\tan{\alpha}\) (dùng máy tính để bấm được \(\alpha\) )
\( \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi {\rm{ }}(k \in \mathbb{Z})\).
4. Phương trình \(cot{x}=m\) (4)
\(\cot{x}=m=\cot{\alpha}\) (dùng máy tính để bấm được \(\alpha\) )
\( \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi {\rm{ }}(k \in \mathbb{Z})\).
—–
Trong trường hợp tổng quát ta luôn có:
\(\sin u = \sin v\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v + k2\pi \\u = \pi – v + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
—
\(\cos u = \cos v\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v + k2\pi \\u = – v + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
—
\(\tan u = \tan v\) \( \Leftrightarrow u=v+k\pi,k \in \mathbb{Z}\).
\(\cot u = \cot v\) \( \Leftrightarrow u=v+k\pi,k \in \mathbb{Z}\).
Phương trình quy về bậc 1, bậc 2
PP giải: Đặt ẩn phụ theo một hàm số lượng giác rồi giải phương trình bậc 2.
Phương trình bậc nhất theo \(\sin{x}\) và \(\cos{x}\)
Dạng: \(a\sin x + b\cos x = c\) hoặc \(a\cos x + b\sin x = c\)
PP giải: Chia 2 vế cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) rồi dùng công thức cộng
(chú ý: Điều kiện có nghiệm của phương trình này: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\))
Nhắc lại công thức cộng:
\(\cos{(a\pm b)}=\cos{a}.\cos{b} \mp \sin{a}.\sin{b}\)
\(\sin{(a\pm b)}=\sin{a}.\cos{b} \pm \cos{a}.\sin{b}\)
Phương trình thuần nhất bậc 2
Dạng: \(a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = 0{\rm{ }}(*)\)
PP giải: Có hai cách giải:
Cách 1: Chia 2 trường hợp
T.hợp 1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) ( tức \(\sin x = \pm 1\)) thế vào p.trình (*) xem có nhận nghiệm này không.
T.hợp 2: \(\cos x \ne 0\). Chia 2 vế p.trình (*) cho \({\cos ^2}x\) ta được phương trình bậc 2 theo \(\tan x\), rồi giải phương trình này.
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa (*) về dạng bậc nhất theo \(\sin 2x\) và \(\cos 2x\).
Ghi chú:
Nếu đề bài cho pt dạng:
\(a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d{\rm{ }}(**)\)
(với \(d\) là một số khác 0), ta chỉ cần biến đổi:
\(d= d(\sin^2{x}+\cos^2{x})\) sau đó chuyển vế rút gọn đưa về dạng (*) quen thuộc
Phương trình đưa về tích
Hãy nhớ rằng:
\(A.B=0\)
\(\Leftrightarrow A=0\) hoặc \( B=0\)
Ví dụ cho dạng 1
Ví dụ: Giải p.trình \(2\sin 3x – 1 = 0\)
Giải: \(2\sin 3x – 1 = 0 \Leftrightarrow \sin 3x = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi }{6}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\3x = \pi – \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\), \((k \in \mathbb{Z}) \)
Ví dụ cho dạng 2
Ví dụ 1. Giải phương trình: \(4{\cos ^2}x – 4\sin x – 1 = 0.\)
Giải:
\({\rm{pt}} \Leftrightarrow 4\left( {1 – {{\sin }^2}x} \right) – \sin x – 1 = 0 \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x + \sin x – 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = – 1\\\sin x = \frac{3}{4}\end{array} \right.\)
þ Với \(\sin x = – 1 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
þ Với \(\sin x = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \left( {\frac{3}{4}} \right) + k2\pi \\x = \pi – \arcsin \left( {\frac{3}{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Ví dụ 2. Giải phương trình: \(\cos 2x – 3\cos x + 2 = 0.\)
Giải:
\({\rm{pt}} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x – 3\cos x + 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Ví dụ 3. Giải phương trình: \(3\cos 2x + 7\sin x + 2 = 0.\)
Giải:
\({\rm{pt}} \Leftrightarrow 3\left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right) + 7\sin x + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow – 6{\sin ^2}x + 7\sin x + 5 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{5}{3}\\\sin x = – \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
þ Với \(\sin x = \frac{5}{3}\) thì pt vô nghiệm vì \(\sin x \in {\rm{[}} – 1;1]\)
þ Với \(\sin x = – \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Ví dụ 4. Giải phương trình: \(4{\sin ^4}x + 5{\cos ^2}x – 4 = 0.\)
Giải:
\({\rm{pt}} \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + 5\left( {1 – {{\sin }^2}x} \right) – 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x – 5{\sin ^2}x + 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\sin ^2}x = 1\\{\sin ^2}x = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)
þ Với \({\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = 0\)
\( \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
þ Với \({\sin ^2}x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{{1 – \cos 2x}}{2} = \frac{1}{4}\)
\( \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Ví dụ 5. Giải phương trình: \(\cos 4x + 12{\sin ^2}x – 1 = 0.\)
Giải:
\({\rm{pt}} \Leftrightarrow \left( {2{{\cos }^2}2x – 1} \right) + 6\left( {1 – \cos 2x} \right) – 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x – 6\cos 2x + 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 1\\\cos 2x = 2\end{array} \right.\)
þ Với \(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
þ Với \(\cos 2x = 2\) thì phương trình vô nghiệm
Ví dụ 6. Giải phương trình: \( – \frac{1}{2}{\tan ^2}x + \frac{2}{{\cos x}} – \frac{5}{2} = 0.\)
Giải:
Điều kiện \(\cos x \ne 0\)
\({\rm{pt}} \Leftrightarrow – \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1} \right) + \frac{2}{{\cos x}} – \frac{5}{2} = 0\)
\( \Leftrightarrow – \frac{1}{2}.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + 2.\frac{1}{{\cos x}} – 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\cos x}} = 2 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Ví dụ cho dạng 3
Ví dụ 1. Giải phương trình: \(\sin x – \sqrt 3 \cos x = – \sqrt 3 .\)
Giải: Vì \({1^2} + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} > {\left( { – \sqrt 3 } \right)^2}\) nên phương trình luôn có nghiệm
Khi đó: \({\rm{pt}} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right) = – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Ví dụ 2. Giải phương trình: \(\cos 2x – \sqrt 3 \sin 2x = 2\cos \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right) \cdot \)
Giải:
\({\rm{pt}} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 2x – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = \cos \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} – x + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{3} = – \frac{\pi }{3} + x + k2\pi \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\frac{{2\pi }}{3}\\x = – \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Ví dụ 3. Giải phương trình: \(\cos 4x – \sin x = \sqrt 3 (\cos x – \sin 4x).\)
Giải:
\({\rm{pt}} \Leftrightarrow \cos 4x + \sqrt 3 \sin 4x = \sqrt 3 \cos x + \sin x\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 4x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 4x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x\)
\( \Leftrightarrow \cos \left( {4x – \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x – \frac{\pi }{3} = x – \frac{\pi }{6} + k2\pi \\4x – \frac{\pi }{3} = – x + \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Ví dụ cho dạng 4
Ví dụ 1. Giải phương trình: \({\cos ^2}x + 2\sin 2x – 5{\sin ^2}x = 0.\)
Giải:
\({\rm{pt}} \Leftrightarrow {\cos ^2}x + 4\sin x\cos x – 5{\sin ^2}x = 0\)
þ Xét \(\cos x = 0\) thì \({\sin ^2}x = 1\), phương trình trở thành \( – 5.1 = 0\) (vô lí)
Suy ra \(\cos x \ne 0\)
þ Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế phương trình cho\({\cos ^2}x\) ta được
\(1 + 4\tan x – 5{\tan ^2}x = 0\) \( \Leftrightarrow 5{\tan ^2}x – 4\tan x – 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = – \frac{1}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( { – \frac{1}{5}} \right) + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Ví dụ 2. Giải phương trình
\(2{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin x\cos x – {\cos ^2}x = 2.\)
Giải. Pt tương đương với:
\(2{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin x\cos x – {\cos ^2}x = 2(\sin^2{x}+\cos^2{x})\)
\( \Leftrightarrow 3\sqrt{3} \sin{x} \cos{x} -3 {\cos ^2}x =0\)
\(\Leftrightarrow 3\cos{x}(\sqrt{3}.\sin{x}-\cos{x})=0\)
\(\Leftrightarrow \cos{x}=0 (1)\) hoặc \(\sqrt{3}\sin{x}-\cos{x}=0 (2)\)
(1) \(\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi\)
(2) \(\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy, nghiệm phương trình là \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \); \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Ví dụ 3. Giải phương trình
\(2{\sin ^2}x + (3 + \sqrt 3 )\sin x\cos x + (\sqrt 3 – 1){\cos ^2}x = – 1.\)
Một số bạn giải cách khác như thế này cũng được nè, chỉ cần lưu ý:
\(\dfrac{1}{\cos^2{x}}=1+\tan^2{x}\) là được. Cụ thể:
þ Xét \(\cos x = 0\) thì \({\sin ^2}x = 1\), phương trình trở thành \(2 = – 1\) (vô lý)
Suy ra \(\cos x \ne 0\).
þ Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được
\(2{\tan ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \left( {\sqrt 3 – 1} \right) = – \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\)
\( \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = – 1\\\tan x = – \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – \frac{\pi }{4} + k\pi \\\tan x = – \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Ví dụ 4. Giải phương trình: \(4{\sin ^3}x + 3({\cos ^3}x – \sin x) = {\sin ^2}x\cos x.\)
Giải:
\({\rm{pt}} \Leftrightarrow 4{\sin ^3}x – {\sin ^2}x\cos x – 3\sin x + 3{\cos ^3}x = 0\)
þ Xét \(\cos x = 0\) thì \({\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow \sin x = \pm 1\), phương trình trở thành
\(4.1 – 3.1 = 0\) (vô lí); hoặc \(4.{( – 1)^3} – 3.( – 1) = 0\)(vô lí)
Suy ra \(\cos x \ne 0\)
þ Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế phương trình cho\({\cos ^3}x\) ta được
\(4{\tan ^3}x – {\tan ^2}x – 3\tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) + 3 = 0\) \( \Leftrightarrow {\tan ^3}x – {\tan ^2}x – 3\tan x + 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Ví dụ 5. Giải phương trình: \({\sin ^2}x(\tan x + 1) = 3\sin x(\cos x – \sin x) + 3.\)
Giải:
Điều kiện \(\cos x \ne 0\)
þ Dễ thấy \(\sin x = 0\) không là nghiệm của phương trình
þ Chia hai vế phương trình cho \({\sin ^2}x\) ta được
\(1 + \tan x = 3\left( {\cot x – 1} \right) + 3\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3\cot x\left( {\cot x – 1} \right) + 3\cot x\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) = \cot x + 1\)
\( \Leftrightarrow 3{\cot ^3}x + 3{\cot ^2}x – \left( {\cot x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {\cot x + 1} \right)\left( {3{{\cot }^2}x – 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cot x = – 1\\\cot x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Ví dụ cho dạng 5
Ví dụ: \(\sin 3x + \cos 2x – \sin x = 0\)
\( \Leftrightarrow (\sin 3x – \sin x) + \cos 2x = 0\)
\( \Leftrightarrow 2\cos 2x\sin x + \cos 2x = 0 \)
\(\Leftrightarrow \cos 2x(2\sin x + 1) = 0\)
\(\left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\sin x = – \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\\x = – \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)
Bài tập
1.Phương trình lượng giác cơ bản
Giải các p.tr lượng giác sau:
a) \(2\cos 3x – 1 = 0\)
b) \(\sin 5x + \sin x = 0\)
c) \(\cos (x – \frac{\pi }{6}) = – \sin 2x\)
d) \(1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0\)
e) \(\tan x.\tan 2x = – 1\)
2. Phương trình bậc 2 theo một hàm số lượng giác
Giải các p.tr lượng giác sau:
a) \({\cos ^2}x + \sin x + 1 = 0\)
b) \(\cos 2x + 3\sin x + 1 = 0\)
c) \(4{\sin ^2}x + 2(\sqrt 3 – 1)\sin x – \sqrt 3 = 0\)
d) \(\cos 2x – 3\cos x = 4{\cos ^2}\frac{x}{2}\)
e) \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x + 2(\tan x + \cot x) = 6\)
3.Phương trình bậc nhất theo \(\sin x,\cos x\)
Giải các p.tr lượng giác sau:
a) \(\sin x + \cos x = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)
b) \(\sqrt 3 \sin 2x – \cos 2x = 1\)
c) \(2\sin (x + \frac{\pi }{3}) + \cos (\frac{\pi }{6} – x) = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
d) \(2{\cos ^2}\frac{x}{2} – \sqrt 3 \sin x = \sqrt 2 + 1\)
e) \(2\cos 2x – 3\sin 2x + 2 = 0\)
4.Phương trình thuần nhất bậc 2 theo \(\sin x,\cos x\)
Giải các p.tr lượng giác sau:
a) \(4{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin 2x – 2{\cos ^2}x = 4\)
b) \(7{\cos ^2}x – 4\sin 2x + {\sin ^2}x = 0\)
c) \(\sqrt 3 {\sin ^2}x + (1 – \sqrt 3 )\sin x\cos x – {\cos ^2}x + 1 – \sqrt 3 = 0\)
d) \(3{\cos ^2}x + 4{\sin ^2}x + \sin x\cos x = 4\)
e) \(2{\sin ^2}x – 5\sin x\cos x – 8{\cos ^2}x = – 2\)
f) \(2{\sin ^3}x – {\sin ^2}x\cos x + 4\sin x{\cos ^2}x – 2{\cos ^3}x = 0\)
5.Phương trình đối xứng theo \(\sin x,\cos x\)
Giải các phương trình lượng giác:
a) \(3(\sin x + \cos x) + 2\sin x\cos x + 3 = 0\)
b) \(\cos x – \sin x + 6\sin x.\cos x = 1\)
c) \(1 + {\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \frac{3}{2}\sin 2x\)
d) \(\sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) – \sin 2x = 1\)
6.Bài tập tổng hợp
a) \(\sin x – \sqrt 3 \cos x = 2\sin 2x\)
b) \(\sin 4x + 1 = 2\sin x(1 + \cos x) + \cos 3x\)
c) \({\sin ^2}x – \sin x\cos x – 6{\cos ^2}x = 0\)
d) \(2\sqrt 2 \cos 2x + \sin 2x\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) – 4\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)
e) \({\sin ^2}3x – {\cos ^2}4x = {\sin ^2}5x – {\cos ^2}6x\)
f) \(4{\sin ^2}\left( {\pi – \frac{x}{2}} \right) – \sqrt 3 \sin \left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right) = 1 + 2{\cos ^2}\left( {x – \frac{{3\pi }}{4}} \right)\)
g) \(\sin 2x + \sin x – \frac{1}{{2\sin x}} – \frac{1}{{\sin 2x}} = 2\cot 2x\)
h) \(\frac{{3\sin 2x – 2\sin x}}{{\sin 2x.\cos x}} = 2\)
i) \(\cos 2x + 5 = 2(2 – \cos x)(\sin x – \cos x)\)
j) \(\sin x.\tan 2x + \sqrt 3 (\sin x – \sqrt 3 \tan 2x) = 3\sqrt 3 \)
k) \(9\sin x + 6\cos x – 3\sin 2x + \cos 2x = 8\)
l) \(\cos x + {\cos ^2}x + {\sin ^3}x = 2\)
m) \(\frac{{(\sin 2x – \sin x + 4)\cos x – 2}}{{2\sin x + \sqrt 3 }} = 0\)
n) \(2{\sin ^2}x\cos x – \sin 2x\cos (\pi – x) = \frac{3}{2}\sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\)
