Câu 1. Cho tập X={0,1,2,3,4,5,6,7}. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau đôi một thỏa điều kiện: số đó có chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau
Giải
Giả sử số có 4 chữ số này là \(\overline{abcd}\).
Đề bài yêu cầu phải có mặt chữ chữ số 1 và 2, ngoài ra phải đứng cạnh nhau. Ta xem như bộ {1;2} là một nhóm.
Bước 1. Đếm các số thỏa bài toán kể cả \(a=0\)
- Xếp vị trí cho bộ {1;2} có 3 cách (ở các vị trí \(\overline{ab}, \overline{bc}, \overline{cd}\) ), ngoài ra đổi chỗ 1 và 2 có 2! cách.
- Xếp các chữ số vào hai vị trí còn lại có \(A_6^2\) cách.
- Suy ra Bước 1 này có: \(3.2!.A_6^2=180\) số
Bước 2. Đếm các số thỏa bài toán mà \(a=0\)
Xếp vị trí cho bộ {1;2} có 2 cách (tức là chỉ có thể \(\overline{bc}, \overline{cd}\) ). Hoán vị 2 hai chữ số 1 và 2 có 2! cách.
Xếp các chữ số vào một vị trí còn lại có \(A_5^1\) cách.
Suy ra bước 2 này có: \(2.2!.A_5^1=20\) cách.
Vậy, có \(180-20=160\) số thỏa bài toán
Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, sao cho mỗi số đó, chữ số đứng sau lớn hơn chữ số chữ số đứng trước?
Giải.
Giả sử số có 5 chữ số này là \(\overline{abcde}\), thỏa bài toán với điều kiện: \(a<b<c<d<e\)
Bài này vì lo ngại sẽ có tình huống \(a=0\) nên ta đếm 2 lần cho chắc cú.
Bước 1. Đếm số có 5 chữ số thỏa bài toán kể cả \(a=0\)
- Mỗi lần chọn ra 5 chữ số từ các chữ số \({0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}\) chúng ta chỉ có một bộ \({a;b;c;d}\) duy nhất thỏa: \(a<b<c<d<e\).
- Do đó, số các số có 5 chữ số thỏa \(a<b<c<d<e\) là số tổ hợp chập 5 của 10 phần tử, và do đó có: \(C_{10}^5\) số.
Bước 2. Đếm số có 5 chữ số thỏa bài toán mà \(a\) phải bằng \(0\)
Tương tự Bước 1. ta luôn có \(0<b<c<d<e\) với các chữ số \(b,c,d,e\) chọn trong \({1;2;3;4;5;6;7;8;9}\); cho nên ở Bước này ta có \(C_9^4\) số thỏa.
Vậy, có: \(C_{10}^5-C_9^4=126\) số thỏa bài toán.
Chúc bạn thành công