Thể tích khối chóp thú vị

Thể tích khối chóp thú vị

Cho hình tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Lấy điểm \(M\) bất kì nằm ở miền trong của tứ diện. Tính:

\(T=d(M, (BCD)) + d(M, (ACD)) + d(M,(ABD))+ d(M, (ABC)) \)

Giải

Gọi \(A_1, B_1, C_1, D_1\) lần lượt là hình chiếu của điểm \(M\) lên các mặt phẳng \((BCD), (ACD), (ABD), (ABC)\)

Ta có: \(T=d(M, (BCD)) + d(M, (ACD)) + d(M,(ABD))+ d(M, (ABC))\)

\(=MA_1+MB_1+MC_1+MD_1 \)

Ta có: \(V_{MBCD}=\dfrac{1}{3}.MA_1.S_{BCD} \)

\(\Rightarrow d(M, (BCD)) = MA_1 = \dfrac{3V_{MBCD}}{S_{BCD}}\)

Tương tự như vậy cho \(MB_1, MC_1,MD_1\), ta có:

\(T=MA_1+MB_1+MC_1+MD_1\)

\(=\dfrac{3V_{MBCD}}{S_{BCD}}+\dfrac{3V_{MACD}}{S_{ACD}}+\dfrac{3V_{MABD}}{S_{ABD}}+\dfrac{3V_{MABC}}{S_{ABC}}\)

mà \(S_{BCD}=S_{ACD}=S_{ABD}=S_{ABC}=S=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\)

nên \(T=\dfrac{3}{S} \left(V_{MBCD}+V_{MACD}+V_{MABD}+V_{MABC}\right)\)

\(=\dfrac{3}{S}.V_{ABCD}\)

Ta dễ dàng tính được \(V_{ABCD}=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}\)

nên ta có:

\(T=\dfrac{3}{\frac{a^2\sqrt3}{4}}.\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}\)

\(=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

Lời bình

Bài này ý tưởng xuất phát từ việc chiều cao có thể tính thông qua thể tích. Cụ thể là:

\(V=\dfrac{1}{3}.S_{đ}.h \Leftrightarrow h = \dfrac{3V}{S_{đ}}\)

Share

Written by:

le chanduc

102 Posts

View All Posts
Follow Me :
0 0 đánh giá
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest

0 Comments
Cũ nhất
Mới nhất Được bỏ phiếu nhiều nhất
Phản hồi nội tuyến
Xem tất cả bình luận
0
Rất thích suy nghĩ của bạn, hãy bình luận.x

Bạn đã đăng kí thành công, cảm ơn bạn nha

Có một chút lỗi, bạn vui lòng làm lại nha

EDUCATION will use the information you provide on this form to be in touch with you and to provide updates and marketing.