Thể tích khối chóp thú vị

Thể tích khối chóp thú vị

Cho hình tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Lấy điểm \(M\) bất kì nằm ở miền trong của tứ diện. Tính:

\(T=d(M, (BCD)) + d(M, (ACD)) + d(M,(ABD))+ d(M, (ABC)) \)

Giải

Gọi \(A_1, B_1, C_1, D_1\) lần lượt là hình chiếu của điểm \(M\) lên các mặt phẳng \((BCD), (ACD), (ABD), (ABC)\)

Ta có: \(T=d(M, (BCD)) + d(M, (ACD)) + d(M,(ABD))+ d(M, (ABC))\)

\(=MA_1+MB_1+MC_1+MD_1 \)

Ta có: \(V_{MBCD}=\dfrac{1}{3}.MA_1.S_{BCD} \)

\(\Rightarrow d(M, (BCD)) = MA_1 = \dfrac{3V_{MBCD}}{S_{BCD}}\)

Tương tự như vậy cho \(MB_1, MC_1,MD_1\), ta có:

\(T=MA_1+MB_1+MC_1+MD_1\)

\(=\dfrac{3V_{MBCD}}{S_{BCD}}+\dfrac{3V_{MACD}}{S_{ACD}}+\dfrac{3V_{MABD}}{S_{ABD}}+\dfrac{3V_{MABC}}{S_{ABC}}\)

mà \(S_{BCD}=S_{ACD}=S_{ABD}=S_{ABC}=S=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\)

nên \(T=\dfrac{3}{S} \left(V_{MBCD}+V_{MACD}+V_{MABD}+V_{MABC}\right)\)

\(=\dfrac{3}{S}.V_{ABCD}\)

Ta dễ dàng tính được \(V_{ABCD}=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}\)

nên ta có:

\(T=\dfrac{3}{\frac{a^2\sqrt3}{4}}.\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}\)

\(=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

Lời bình

Bài này ý tưởng xuất phát từ việc chiều cao có thể tính thông qua thể tích. Cụ thể là:

\(V=\dfrac{1}{3}.S_{đ}.h \Leftrightarrow h = \dfrac{3V}{S_{đ}}\)

Share

Written by:

le chanduc

64 Posts

View All Posts
Follow Me :
Theo dõi
Thông báo của
guest

0 Comments
Phản hồi nội tuyến
Xem tất cả bình luận
0
Mình rất thích suy nghĩ của bạn, bình luận bên dưới nhax

Bạn đã đăng kí thành công, cảm ơn bạn nha

Có một chút lỗi, bạn vui lòng làm lại nha

EDUCATION will use the information you provide on this form to be in touch with you and to provide updates and marketing.